11.11.2015 Взять и поделить или деление по модулю

Есть некоторая неуверенность в результатах работы функций взятия модуля, для борьбы с которой составлена эта памятка.

Лично я привык к работе функции mod(a, b) в MATLAB, которая приводит a к диапазону [0 b] или [b 0] (в зависимости от знака b) путем прибавления/вычитания целого числа b к/из a. Что выражается в формуле:

mod(a, b) = a - floor(a ./ b)*b,

где функция floor - округление в сторону минус бесконечности.

Операция взятия остатка по модулю замечательна своими свойствами:

(a+b)mod n = [a(mod n) + b(mod n)]mod n

(a-b)mod n = [a(mod n) - b(mod n)]mod n

(a*b)mod n = [a(mod n) * b(mod n)]mod n

[c*(a+b)]mod n = [c*a(mod n) + c*b(mod n)]mod n

Как оказалось, делить можно по-разному, в зависимости от функции, которую мы используем для округления:

• truncated division modulo - используется функция fix() - округление в сторону нуля, в результате имеем остаток от деления абсолютных значений аргументов, знак используем от первого.
• floored division modulo - используется функция floor() - округление в сторону минус бесконечности, в результате приводим число к интервалу [0 b] для положительных b или [b 0] для отрицательных.
• и т.д.

Для себя я теперь разделяю понятия остатка от деления (remainder after devision) и приведения числа по модулю (modulus after devision) соответственно.

Как показало исследование ниже, результаты будут отличаться тогда, когда аргументы имеют разный знак.

Так какие функции и операторы реализуют остаток от деления, какие взятие по модулю, и как они зависят от типов аргументов? Ниже представлены результаты, полученные на Oryx 161, компилятор из Xilinx SDK 2014.4 ( gcc version 4.8.3 20140320 (prerelease) (Sourcery CodeBench Lite 2014.05-23)).

Оператор %

Оператор %  

(int(13)) % (int(-17))   = 13
(int(13)) % (int(-7))    = 6
(int(13)) % (int(-5))    = 3
(int(13)) % (int(-1))    = 0
(int(13)) % (int(1))     = 0
(int(13)) % (int(5))     = 3
(int(13)) % (int(7))     = 6
(int(13)) % (int(17))    = 13
(int(-13)) % (int(-17))  = -13
(int(-13)) % (int(-7))   = -6
(int(-13)) % (int(-5))   = -3
(int(-13)) % (int(-1))   = 0
(int(-13)) % (int(1))    = 0
(int(-13)) % (int(5))    = -3
(int(-13)) % (int(7))    = -6
(int(-13)) % (int(17))   = -13
(unsigned int(13)) % (int(-17))  = 13
(unsigned int(13)) % (int(-7))   = 13
(unsigned int(13)) % (int(-5))   = 13
(unsigned int(13)) % (int(-1))   = 13
(unsigned int(13)) % (int(1))    = 0
(unsigned int(13)) % (int(5))    = 3
(unsigned int(13)) % (int(7))    = 6
(unsigned int(13)) % (int(17))   = 13
(int(13)) % (unsigned int(1))    = 0
(int(13)) % (unsigned int(5))    = 3
(int(13)) % (unsigned int(7))    = 6
(int(13)) % (unsigned int(17))   = 13
(int(-13)) % (unsigned int(1))   = 0
(int(-13)) % (unsigned int(5))   = 3
(int(-13)) % (unsigned int(7))   = 5
(int(-13)) % (unsigned int(17))  = 5
(unsigned int(13)) % (unsigned int(1))   = 0
(unsigned int(13)) % (unsigned int(5))   = 3
(unsigned int(13)) % (unsigned int(7))   = 6
(unsigned int(13)) % (unsigned int(17))  = 13

Следует обратить внимание:

• int a % uint b = mod(*(uint*(&a)), b) - результаты для -13%(int 7) и -13%(uint 7) различаются; если брать int % uint, то int интерпретируется как uint, например, -1 превращается в 2^32-1.
• uint a % int b = b<0 ? a : mod(a, b) - взятие uint % отрицательного числа - холостая операция, результат - исходный uint
• int a % int b = sign(a) * mod(|a|, |b|) - как подсказывает стандарт, до C (ISO 1999) и C++ (ISO 2011) знак зависел от реализации, теперь же применяется знак делимого
• int a % int b = (MATLAB)rem(a, b) - ведет себя как функция rem() в MATLAB: rem(a, b) = a - fix(a/b)*b, где fix() - функция округления в сторону нуля
• int a % int b ведет себя как функция mod() в MATLAB только при совпадении знаков аргументов, иначе есть смещение на b (за исключением точек, в которых результат ноль)

Выводы:

• Оператор % дает в нашей системе остаток от деления (truncated division modulo)
• Функция mod() в MATLAB производит floored modulo, функция rem() в MATLAB - truncated modulo.

Для наглядности построены графики (доступен fig):

Оператор %, MATLAB mod()  

Функция fmod

Функция:

double fmod (double numer, double denom)

возвращает остаток от деления в виде числа с плавающей точкой (numer - tquot * denom), где tquot - результат округления в сторону нуля дроби numer/denom. Иначе говоря, функция использует truncated division или функцию fix(). От знака второго аргумента результат не зависит. Буква f в названии функции - отсылка к float, а не floored!

fmod() /доступны fig/  

Функция remainder

Функция:

     double remainder  (double numer     , double denom);
      float remainderf (float numer      , float denom);
long double remainderl (long double numer, long double denom);

аналогична fmod(), но использует округление к ближайшему целому, то есть функцию round вместо fix. От знака второго аргумента результат не зависит.

remainder() /доступны fig/  

Макрос umod

Для имитации matlab'овского mod() для целых чисел у нас существует макрос umod:

#define umod(x, y)  ( ((x)>=0) ? ((x)%(y)) : ((((x)+1)%(y))+(y)-1) )

При положительных y она работает как и ожидается - реализует floored modulo, при отрицательных есть проблемы.

umod() /доступны fig/  

Кроме того, если в неё мешать использование uint и int, то можно получить интересные эффекты, описанные выше.

Функция flmod(int, int)

Для исправления недостатков макроса umod создана функция flmod(int, int):

int flmod(int x, int y) {
    if (y >= 0)
        return ( (x>=0) ? (x%y) : (((x+1)%(y))+(y)-1) );
    else
        return -( (x<=0) ? (-x%-y) : (((-x+1)%(-y))+(-y)-1) );
}

Результаты её выполнения совпадают с MATLAB mod(), она реализует floored modulo:

flmod(int, int) /доступны fig/  

Ссылки

— Корогодин Илья • 18:40, 11 ноября 2015 • нет комментариев

[ Хронологический вид ]Комментарии

(нет элементов)

Войдите, чтобы комментировать.