Функции Бесселя

Функции Бесселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0,$

где $\alpha$ — произвольное вещественное число, называемое порядком.

Модифицированные функции Бесселя

Модифици́рованные фу́нкции Бе́сселя — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента.

Первого рода: $I_n(z)=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi e^{z\cos t}\cos (nt)dt, \qquad n \in \mathbb Z, Re(z)>0.$

Модифицированные функции Бесселя первого рода при синтезе некогерентных систем

Исходный материал в исполнении Александра Ивановича доступен тут.

При статистическом синтезе радиосистем в случаях, когда начальную фазу сигнала относят к неинформативным параметрам, возникает задача преобразования интеграла вида: $J = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{\frac{\sum\limits_{l=1}^L y_{k,l}S_{k,l}}{\sigma_{n,k}^2}} d\phi_k.$

Рассмотрим подробнее числитель экспоненты для типичной модели сигнала $S\left( {{t}_{k,l}},\mathbf{\lambda },\mathbf{\mu } \right)=A_{k}{G}_{dc}\left( {{t}_{k,l}}-\tau _{k}^{{}} \right)\cos \left( {{\omega }_{0}}\left( {{t}_{k,l}}-t_{k,1}^{{}} \right)+\int\limits_{{{t}_{k,1}}}^{{{t}_{k,l}}}{\omega _{d,k}^{{}}dt}+\varphi _{k}^{{}} \right),$

тогда

$\sum_{l=1}^L y_{k,l}S_{k,l} = A_{k}cos(\phi_k){I}_{k} - A_{k}sin(\phi_k){Q}_{k},$

где

${{I}_{k}}\overset{df}{\mathop{=}}\,\sum\limits_{l=1}^{L}{y\left( {{t}_{k,l}} \right)G_{dc}^{{}}\left( t_{k,l}^{{}}-\tau _{k}^{{}} \right)\cos \left( {{\Phi }_{k,l}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) \right)};$

${{Q}_{k}}\overset{df}{\mathop{=}}\,\sum\limits_{l=1}^{L}{y\left( {{t}_{k,l}} \right)G_{dc}^{{}}\left( t_{k,l}^{{}}-\tau _{k}^{{}} \right)\sin \left( {{\Phi }_{k,l}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) \right)},$

в которых

${{\Phi }_{k,l}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)\overset{df}{\mathop{=}}\,\omega _{0}^{{}}\left( {{t}_{k,l}}-{{t}_{k,1}} \right)+\int\limits_{{{t}_{k,1}}}^{{{t}_{k,l}}}{\omega _{d,k}^{{}}dt}.$

Далее производится красивый хак: очевидно, что $\forall I_k, Q_k \in \R {\ }: \exists \psi_k\in \R$, такая что:

$\!\! A_{k} cos(\phi_k){I}_{k} - A_{k}sin(\phi_k){Q}_{k} = \!\!$ $A_{k} \sqrt{I_k^2 + Q_k^2} \left( \frac{I_k}{\sqrt{I_k^2 + Q_k^2}} cos(\phi_k) - \frac{Q_k}{\sqrt{I_k^2 + Q_k^2}} sin(\phi_k) \right) =$ $A_{k} \sqrt{I_k^2 + Q_k^2} \left( cos(\psi_k) cos(\phi_k){I}_{k} - A_{k}sin(\psi_k)sin(\phi_k) \right)=$ $A_{k} X_{k}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) cos(\psi_k + \phi_k),$

где $X_{k}^{2}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)\overset{df}{\mathop{=}}\,I_{k}^{2}+Q_{k}^{2}.$

С учетом проделанных преобразованием, можно записать: $J = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{\frac{A_{k} X_{k}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) cos(\psi_k + \phi_k)}{\sigma_{n,k}^2}} d\phi_k.$

По определению, модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка: $I_0(z)\overset{df}{\mathop{=}}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi e^{z\cos t}dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{z\cos t}dt,$

тогда с учетом того, что подынтегральная функция в полученном выражении для $\!\! J$ периодична и её период совпадает с периодом интегрирования, а значит замена аргумента $\!\! \phi_k$ на $\!\! \phi_k + \psi_k$ не меняет значения интеграла, получаем выражение: $J = I_0 \left( \frac{A_{k} X_{k}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)}{\sigma_{n,k}^2} \right).$