Просмотр исходного текста страницы Функции Бесселя

== Модифицированные функции Бесселя ==

'''Модифици́рованные фу́нкции Бе́сселя''' — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента.

Первого рода:
<math>I_n(z)=\frac{1}{\pi}\int\limits_0^\pi e^{z\cos t}\cos (nt)dt, \qquad n \in \mathbb Z, Re(z)>0.</math>


=== Модифицированные функции Бесселя первого рода при синтезе некогерентных систем ===

Исходный материал в исполнении Александра Ивановича доступен в форматах [[Media:20110416_Функция_Бесселя.doc|doc]] и [[Media:20110416_Функция_Бесселя.pdf|pdf]].

При статистическом синтезе радиосистем в случаях, когда начальную фазу сигнала относят к неинформативным параметрам, возникает задача преобразования интеграла вида:
:<math>J = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi e^{\frac{\sum\limits_{l=1}^L y_{k,l}S_{k,l}}{\sigma_{n,k}^2}} d\phi_k.</math>

Рассмотрим подробнее числитель экспоненты для типичной модели сигнала
:<math>S\left( {{t}_{k,l}},\mathbf{\lambda },\mathbf{\mu } \right)=A_{k}{G}_{dc}\left( {{t}_{k,l}}-\tau _{k}^{{}} \right)\cos \left( {{\omega }_{0}}\left( {{t}_{k,l}}-t_{k,1}^{{}} \right)+\int\limits_{{{t}_{k,1}}}^{{{t}_{k,l}}}{\omega _{d,k}^{{}}dt}+\phi _{k}^{{}} \right),</math>

тогда 
      
:<math>\sum_{l=1}^L y_{k,l}S_{k,l} = A_{k}cos(\phi_k){I}_{k} - A_{k}sin(\phi_k){Q}_{k},</math>

где 

:<math>{{I}_{k}}\overset{df}{\mathop{=}}\,\sum\limits_{l=1}^{L}{y\left( {{t}_{k,l}} \right)G_{dc}^{{}}\left( t_{k,l}^{{}}-\tau _{k}^{{}} \right)\cos \left( {{\Phi }_{k,l}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) \right)};</math>

:<math>{{Q}_{k}}\overset{df}{\mathop{=}}\,\sum\limits_{l=1}^{L}{y\left( {{t}_{k,l}} \right)G_{dc}^{{}}\left( t_{k,l}^{{}}-\tau _{k}^{{}} \right)\sin \left( {{\Phi }_{k,l}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) \right)},</math>

в которых

:<math>{{\Phi }_{k,l}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)\overset{df}{\mathop{=}}\,\omega _{0}^{{}}\left( {{t}_{k,l}}-{{t}_{k,1}} \right)+\int\limits_{{{t}_{k,1}}}^{{{t}_{k,l}}}{\omega _{d,k}^{{}}dt}.</math>


Далее производится красивый хак: очевидно, что <math>\forall I_k, Q_k \in \R {\ }: \exists \psi_k\in \R</math>, такое что:

:<math>\!\! A_{k} cos(\phi_k){I}_{k} - A_{k}sin(\phi_k){Q}_{k} = \!\!</math>
:<math>=A_{k} \sqrt{I_k^2 + Q_k^2} \left(
\frac{I_k}{\sqrt{I_k^2 + Q_k^2}} cos(\phi_k) -
\frac{Q_k}{\sqrt{I_k^2 + Q_k^2}} sin(\phi_k) \right) = </math>
:<math>=A_{k} \sqrt{I_k^2 + Q_k^2} \left( cos(\psi_k) cos(\phi_k) - sin(\psi_k)sin(\phi_k) \right)=
A_{k} X_{k}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) cos(\psi_k + \phi_k),</math>

где 
:<math>X_{k}^{2}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)\overset{df}{\mathop{=}}\,I_{k}^{2}+Q_{k}^{2}.</math> 


С учетом проделанных преобразованием, можно записать:
:<math>J = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi e^{\frac{A_{k} X_{k}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) cos(\psi_k + \phi_k)}{\sigma_{n,k}^2}} d\phi_k.</math>


По определению, модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка:
:<math>I_0(z)\overset{df}{\mathop{=}}\frac{1}{\pi}\int\limits_0^\pi e^{z\cos t}dt = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi e^{z\cos t}dt,</math>

тогда с учетом того, что подынтегральная функция в полученном выражении для <math>\!\! J </math> периодична и её период совпадает с периодом интегрирования, а значит замена аргумента <math>\!\! \phi_k </math> на <math>\!\! \phi_k + \psi_k </math> не меняет значения интеграла, получаем выражение:
:<math>J = I_0 \left( \frac{A_{k} X_{k}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)}{\sigma_{n,k}^2} \right).</math>